MAKALAH MATEMATIKA

TRANSFORMASI GEOMETRI (TRANSLASI)

Disusun dalam Rangka Memenuhi Tugas Matematika Wajib

Disusun Oleh:

Alifah Khairunnisa Hilmi

Aulia Arsy Rahman Qodri

Hana Aulia Mughniy

Katori Hamdani

Kesya Hanna Rosalie

Muhammad Fernand Zaky Fadillah

Satriadi Putra Santika

Savira Aulia Pratiwiningtyas

Tiara Pramitha Putri Bhary

            XI IPA 9

SMA NEGERI 2 KOTA TANGERANG SELATAN
TANGERANG SELATAN
BANTEN
2018

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai . Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.

Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca. Kami juga berharap dengan sungguh-sungguh supaya makalah ini mampu berguna serta bermanfaat dalam meningkatkan pengetahuan sekaligus wawasan terkait transformasi geometri sub bab translasi.

Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami. Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini. Apabila terdapat banyak kesalahan pada makalah ini penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya.

Tangerang Selatan, 1 November 2018

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR…………………………………………………..………………........ii

DAFTAR ISI…………………………………………………..…………………………..…iii

BAB I          PENDAHULUAN…………………………………………………..…………..4

1.1  Latar Belakang…………………………………………………………..…..4

1.2  Rumusan Masalah………………………………………………………...…4

1.3  Tujuan Penelitian………………………………………………………........5

1.4  Manfaat……………………………………………………………………...5

BAB II         PEMBAHASAN………………………...…………..………………………….6

2.1 Pengertian Transformasi…………….………………………………………6

2.2 Pengertian Translasi....……………………………………………………....6

2.3 Komponen Translasi...……………………………………………………....8

2.4 Translasi yang Diwakili oleh Notasi Pemetaan dan Persamaan Matriks…..10

2.5 Translasi Beraturan………………………………………………………....15

BAB IV       PENUTUP…………………………………………………………………......17

3.1  Kesimpulan……………………………………………………………........17

3.2  Saran………………………………………………………………………..17

DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………………….....18

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang angka – angka yang diterapkan dalam kehidupan sehari – hari. Matematika memiliki dasar – dasar yang harus dipelajari di usia dini. Belajar matematika merupakan sebuah proses perubahan tingkah laku individu. Belajar ilmu matematika merupakan hal yang sangat penting dan harus di jalani oleh setiap manusia. Dengan ilmu matematika seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana yang buruk, mana yang boleh dan mana yang tidak boleh, dan dengan ilmu matematika juga seseorag bisa merumuskan tujuan hidup.

Matematika merupakan mata pelajaran yang sangat penting, dengan ilmu matematika kita mengetahui adanya geometri transformasi yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.

Dimana translasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Maka dari itu kami menulis makalah tentang geometri transformasi yang didalamnya memuat translasi (pergeseran)

1.2.            Rumusan Masalah

Dalam membuat suatu makalah masalah sangatlah penting karena adanya masalah akan memberikan penuntun bagi pembahasan selanjutnya, untuk menentukan suatu masalah hendaknya memberikan petunjuk tentang  pengumpulan data.

Adapun  masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah tentang Geometri Transformasi yang didalamnya memuat tentang translasi (pergeseran).

1.      Apa itu transformasi?

2.      Apa yang dimaksud dengan translasi?

3.      Bagaimana contoh masalah translasi dan penyelesaiannya?

1.3.            Tujuan

1.      Mendeskripsikan pengertian translasi

2.      Untuk mengetahui tentang translasi (pergeseran)

3.      Untuk mengetahui  yang dimaksud dengan translasi (pergeseran)

4.      Untuk dapat menyelesaikan soal – soal tentang translasi (pergeseran)

1.4.             Manfaat

Adapun manfaat dari makalah ini, tidak lebih untuk mengetahui apa itu translasi dalam geometri transformasi yang dapat mempermudah dalam mempelajari Geometri Transformasi tentang translasi tersebut.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Pengertian Transformasi

Untuk memindahkan satu titik atau bangun pada bidang dapat dilakukan dengan menggunakan Transformasi. Transformasi Geometri adalah bagian dari geometri yang membicarakan perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk penyajianya didasarkan dengan gambar dan matriks, secara geometris transformasi dapat menunjukkan bagaimana suatu bangun dapat berubah kedudukan dan ukurananya berdasarkan rumus tertentu.

Transformasi Geometri lebih sering disebut transformasi yang digunakan untuk mengubah setiap koordinat titik (titik-titik dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan aturan tertentu. Misalnya, transformasi T  terhadap titik P (x,y) menghasilkan bayangan P’ (x’, y’) operasi tersebut dapat ditulis sebagai :

P (x, y) → P’ (x’, y’)

Transformasi dibagi menjadi empat jenis, yaitu translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Pada laporan ini kami akan menjelaskan secara khusus tentang translasi.

2.2. Pengertian Translasi

Translasi merupakan transformasi di mana semua titik pada suatu bidang dipetakan secara garis lurus dalam arah dan jarak yang sama yang menyebabkan bentuk geometri bidang tersebut tidak berubah. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa bangun serta bayangannya adalah kongruen dan translasi dapat disebut transformasi isometri.

Pada gambar di bawah, segitiga ABC dipetakan ke bayangannya oleh suatu tranformasi.

AA’, BB’, dan CC’ sama panjang dan searah

AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’

Segitiga ABC dan A’B’C’ sama dan sebangun (kongruen).

Dari penjelasan di atas, dapat dikatakan bahwa segitiga ABC mengalami translasi.

           

Translasi T dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut dua bilangan ab dan dituliskan sebagai:

T =

Keterangan:

·         a dan b masing-masing disebut sebagai komponen translasi

·         a menyatakan komponen translasi dalam arah sumbu X

·         b menyatakan komponen translasi dalam arah sumbu Y

Bayangan titik P (x,y) oleh translasi T = ab   adalah P’ (x’ , y’) dengan x’= x+a dan y’ = y+b. Bayangan garis y = mx + c oleh translasi T=ab  adalah garis  y - b = m (x - a) + c.

2.3. Komponen Translasi

Gambar di atas menunjukkan bahwa titik P dipetakan P’ oleh suatu translasi yang dinyatakan sebagai berikut.

            PP’ =

Bentuk  disebut dengan vektor translasi atau vektor kolom yang menunjukkan bahwa translasi PP’ dihasillkan oleh pergeseran 4 satuan secara horizontal ke kanan dan 5 satuan secara vertical ke atas. Translasi biasanya dinyatakan dalam bentuk vektor kolom atau vektor translasi  di mana h mewakili pergeseran horizontal dan k mewakili pergeseran vertical.

Pergeseran arah ke kanan dan ke atas bernilai positif, sedangkan pergesaran ke arah kiri dan bawah bernilai negatif.

Contoh:

1.      Gambarlah sebuah titik dan petanya jika titik tersebut mendapatkan:

a.    Translasi T =

b.   Translasi T =

2.   Tentukan bayangan dari titik A(5,2) oleh translasi T =

3.   Tentukan bayangan dari titik B(-2,3) oleh translasi T =

Jawab:

1.      Gambar titik dan petanya:

a.   Gambar di bawah menunjukkan titik A dipetakan ke A’ oleh suatu translasi T =

b.   Gambar di bawah menunjukkan titik P dipetakan ke P’ oleh suatu translasi T =

2.   Dengan memperhatikan gambar di samping, bayangan titik A(5, 2) oleh translasi T =  adalah A’(2, 6)

Proses aljabarnya:

            A(5, 2)  A’(5 + (-3, 2 + 4)

            A(5, 2)  A’(2, 6)

3.   Dengan memperhatikan gambar di samping, bayangan titik B(-2, 3) oleh translasi T =  adalah B’(3, -3)

Proses aljabarnya:

            B(-2, 3)  B’(-2 + 5, 3 + (-6))

            B(-2, 3)  B’(3, -3)

2.4. Translasi yang Diwakili oleh Notasi Pemetaan dan Persamaan Matriks

Gambar di atas menunjukkan bahwa titik P(x, y) dipetakan ke bayangan titik P’(x + h; y + k) oleh suatu translasi T melalui h satuan searah sumbu X dan k satuan searah sumbu Y. Oleh karena koordinat P’(x’, y’), maka:

P’(x’, y’)  P’(x + h; y + k)

atau

Bentuk  adalah bentuk persamaan aljabar yang mewakili translasi dengan h satuan searah sumbu X (horizontal) dan k satuan searah sumbu Y (vertikal).

  dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:

Persamaan matriks tersebut mewakili translasi  h satuan searah sumbu X dan k satuan searah sumbu Y.

A.    Pada Titik

Suatu titik (x, y) ditranslasikan dengan translasi T =  ke bayangan (x’, y’) dapat dinyatakan dalam:

§  Notasi Pemetaan

§  Persamaan Matriks

§  Persamaan Aljabar

Contoh:

Tentukan bayangan dari titik  oleh translasi !

Jawab:

§  Menggunakan notasi pemetaan

 

 

Jadi, bayangan dari titik  oleh translasi  adalah

§  Menggunakan persamaan matriks

 

 

 

 

Jadi, bayangan dari titik  oleh translasi  adalah

B.     Pada Garis

Suatu garis  ditranslasikan dengan translasi  ke bayangannya  dinyatakan dalam notasi pemetaan:

Contoh:

Tentukan bayangan garis  oleh translasi !

Jawab:

§  Menggunakan notasi pemetaan

                  

                  

                

                       

                         

         Jadi, bayangan garis  oleh translasi  adalah

§  Menggunakan persamaan matriks

                    

                      

ž  

ž  

Subtitusi persamaan  dan ke dalam persamaan garis

            

            

                  

                          

Jadi, bayangan garis  oleh translasi  adalah  2

C.     Pada Parabola

Suatu parabola ditranslasikan dengan translasi  ke bayangannya  dinyatakan dalam notasi pemetaan:

Contoh:

Tentukan bayangan kurva parabola  jika ditranslasikan oleh

Jawab:

§  Menggunakan notasi pemetaan

 

 

 

       

        

Jadi, bayangan kurva parabola  jika ditranslasikan oleh  adalah  

§  Menggunakan persamaan matriks

 

 

ž  

ž  

Subtitusikan persamaan dan  ke persamaan

 

 

       

        

Jadi, bayangan kurva parabola  jika ditranslasikan oleh  adalah  

D.    Pada Lingkaran

Jika lingkaran L  ditranslasikan dengan translasi  ke bayangannya L‘, maka:

Sehingga

Subtitusi persamaan dan  ke persamaan lingkaran.

L

L‘

Secara umum, suatu lingkaran  ditranslasikan dengan translasi  ke bayangannya  dinyatakan dalam notasi pemetaan

Contoh:

Tentukan bayangan lingkaran  jika ditranslasikan oleh !

Jawab:

 ( 

 

 

Jadi, bayangan lingkaran  jika ditranslasikan oleh  adalah

2.5. Translasi Berurutan

Jika suatu titik mendapatkan translasi T₁, kemudian dilanjutkan dengan translasi T₂, maka dua translasi tersebut dapat dinyatakan dengan transformasi tunggal dan ditulis dengan notasi .

Suatu titik P(x, y) mendapat translasi berurutan

Titik .

Titik 

Jika kita perhatikan yang memetakan titik  ke titik , maka pemetaan tersebut dapat kita nyatakan sebagai berikut.

Titik

Sehingga rumus untuk komposisi transformasi  adalah

Contoh:

Jika . Tentukan bayangan titik , jika ditransformasikan oleh komposisi transformasi !

Jawab:

Bentuk  menunjukkan bahwa titik A ditranslasi oleh , kemudian ditranslasi oleh , dan ditranslasi lagi oleh .

       

     

Jadi, bayangan titik , jika ditransformasikan oleh komposisi transformasi  adalah

BAB 3

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Transformasi dibagi menjadi empat bagian, yakni translasi, refleksi, dan dilatasi. Translasi sendiri merupakan perpindahan atau pergeseran setiap titik dalam arah dan jarak yang sama. Pada translasi artinya pergeseran titik sepanjang a satuan searah sumbu X dan sepanjang b satuan searah sumbu Y

Secara aljabar :

3.2. Saran

Mungkin demikianlah yang dibahas dalam kelompok kami yang membahas materi Transformasi Isometri Translasi. Selayaknya manusia biasa yang masih banyak kekurangan, kami pasti memiliki kesalahan. Terlebih lagi dalam pembuatan makalah ini, dimohon untuk dimaafkan. Mungkin di lain waktu kami akan menjelaskan lebih detail terhadap materi yang sedang dibahas.

DAFTAR PUSTAKA

Noormandiri, BK. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Erlangga.